Aufgabensammlung Festigkeitslehre / Elastostatik

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Spannungszustand

Einachsiger Spannungszustand

Aufgabe F-1.1.1

Die Abbildung zeigt einen runden, sich verjüngenden Stab, der entlang seiner Symmetrieachse mit einer Druckkraft F, dargestellt durch zwei rote Pfeile, die auf die Kreisflächen am Stabanfang und -ende zeigen.

Konischer Stab und Druckkraft

Ein konischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt und der Länge $l = 250 mm$ wird wie in Abbildung 1 dargestellt durch eine Druckkraft $F = 10 kN$ in der Stabachse belastet. Der Durchmesser bei $x = 0$ sei mit $2 d_{0} = 150 mm$ doppelt so groß wie der Durchmesser bei $x = l$ mit $d_{0} = 75 mm$ .

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung $σ$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?
Wie groß ist die Normalspannung $σ$ an der Stelle $x = 200 mm$ in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

Aufgabe F-1.1.2

Die Abbildung zeigt einen Kreiskegel, dessen Grundfläche oben und dessen Spitze unten angeordnet sind. Die Laufkoordinate x läuft von der Spitze des Kreiskegels nach oben. Die Erdbeschleunigung g ist mit einem Pfeil nach unten eingezeichnet.

Hängender Kreiskegel

An einer Dachrinne hängt ein Eiszapfen. Der Zapfen besitzt die Form eines Kreiskegels mit der Länge $l = 10 cm$ , der am Aufhängepunkt einen Durchmesser $d_{0} = 5 cm$ und eine Querschnittsfläche $A_{0}$ hat. Das Eis hat eine Dichte von $ϱ = 0, 91 g / {cm}^{3}$ .

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalkraft $N$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalspannung $σ$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?
Wie groß ist die Normalspannung $σ$ an der Stelle $x = 70 mm$ in einem Schnitt senkrecht zur Kegelachse?

Aufgabe F-1.1.3

Der Stab steht auf einem angedeuteten Boden. Seine untere Grundfläche ist 2b x d, seine obere Grundfläche b x d. Seine Höhe ist mit h bemaßt. Von oben wird er von einer Kraft F, dargestellt durch einen nach unten gerichteten Pfeil, in seiner Symmetrieachse belastet. Die Laufkoordinate x läuft von unten nach oben. Die Erdbeschleunigung g ist mit einem Pfeil nach unten eingezeichnet.

Belasteter homogener Stab mit konstanter Dicke und linear veränderlicher Breite

Ein homogener Stab mit konstanter Dicke $d = 20 mm$ und linear veränderlicher Breite wird durch eine Druckkraft $F = 1 kN$ belastet.

Geg.: $b = 15 mm$ , $h = 80 mm$ , $ϱ = 7, 85 g / {cm}^{3}$

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Querschnittsfläche $A (x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?
Wie lautet die Formel zur Berechnung der Normalkraft $N (x)$ an einer beliebigen Stelle x in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?
Wie groß ist die Normalspannung $σ$ an der Stelle $x = 30 mm$ in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse?

Aufgabe F-1.1.4

Die Abbildung zeigt einen linksseitig eingespannten Balken mit quadratischem Querschnitt. In der Zeichung sind drei Schnittebenen a, b und c angedeutet. Die Schnittebene a ist senkrecht zur Balkenachse. Die Schnittebene b verläuft von links oben nach rechts unten, der gegebene Winkel Beta beschreibt den kleineren Winkel oben. Die Schnittebene c verläuft von links unten nach rechts oben, der gegebene Winkel Gamma beschreibt den kleineren Winkel unten. Die Seitenlänge des Querschnittes ist die Länge d. Am rechten Balkenende wirkt eine Zugkraft F im Schwerpunkt des Querschnitts.

Normal- und Schubspannung unter beliebigem Schnittwinkel

Ein eingespannter Balken mit quadratischem Querschnitt (Seitenlänge $d = 20 mm$ ) wird durch eine Zugkraft $F = 10 kN$ in der Balkenachse belastet.

Bestimme die mittlere Normalspannung und die mittlere Schubspannung, die

in der Schnittebene a wirken.
in der Schnittebene b ( $β = 50 °$ ) wirken.
in der Schnittebene c ( $γ = 40 °$ ) wirken.

Ebener Spannungszustand

Aufgabe F-1.2.1-xy

Diese Abbildung zeigt ein quadratisches Blech in zwei Positionen. Einmal liegt es mit zwei Seiten in einem x,y-Koordinatensystem mit Ursprung in der linken unteren Ecke des Bleches. In der zweiten Position wird es um einen Winkel Phi zur x-Achse gekippt. Die x-Achse ist nach rechts positiv, die y-Achse nach oben positiv. Normal- und Schubspannungen sind für jede Seite des Bleches jeweils positiv mit Pfeilen dargestellt.

Koordinatentransformation x,y-Koordinatensystem

In einem Blech seien die Spannungen $σ_{x} = - 250 MPa$ , $σ_{y} = 80 MPa$ und $τ_{x y} = 50 MPa$ gegeben.

Welche Normal- und Schubspannungen treten unter einem Schnittwinkel von $φ = 30 °$ auf?

Aufgabe F-1.2.1-xz

Diese Abbildung zeigt ein quadratisches Blech in zwei Positionen. Einmal liegt es mit zwei Seiten in einem x,z-Koordinatensystem mit Ursprung in der linken unteren Ecke des Bleches. In der zweiten Position wird es um einen Winkel Phi zur x-Achse gekippt. Die x-Achse ist nach rechts positiv, die z-Achse nach unten positiv. Normal- und Schubspannungen sind für jede Seite des Bleches jeweils positiv mit Pfeilen dargestellt.

Koordinatentransformation x,z-Koordinatensystem

In einem Blech seien die Spannungen $σ_{x} = - 250 MPa$ , $σ_{z} = 80 MPa$ und $τ_{x z} = 50 MPa$ gegeben.

Welche Normal- und Schubspannungen treten unter einem Schnittwinkel von $φ = 30 °$ auf?

Aufgabe F-1.2.2-xy

Diese Abbildung zeigt ein quadratisches Blech. Es liegt mit zwei Seiten in einem x,y-Koordinatensystem mit Ursprung in der linken unteren Ecke des Bleches. Die x-Achse ist nach rechts positiv, die y-Achse nach oben positiv. Normal- und Schubspannungen sind für jede Seite des Bleches jeweils positiv mit Pfeilen dargestellt.

Größe und Richtung der Hauptspannungen bestimmen im x,y-Koordinatensystem

In einem Blech seien die Spannungen $σ_{x} = 20 MPa$ , $σ_{y} = 30 MPa$ und $τ_{x y} = 10 MPa$ gegeben.

Bestimme die Größe und Richtung der Hauptspannungen.

Aufgabe F-1.2.2-xz

Diese Abbildung zeigt ein quadratisches Blech. Es liegt mit zwei Seiten in einem x,z-Koordinatensystem mit Ursprung in der linken unteren Ecke des Bleches. Die x-Achse ist nach rechts positiv, die z-Achse nach unten positiv. Normal- und Schubspannungen sind für jede Seite des Bleches jeweils positiv mit Pfeilen dargestellt.

Größe und Richtung der Hauptspannungen bestimmen im x,z-Koordinatensystem

In einem Blech seien die Spannungen $σ_{x} = 20 MPa$ , $σ_{z} = 30 MPa$ und $τ_{x z} = 10 MPa$ gegeben.

Bestimme die Größe und Richtung der Hauptspannungen.

Flächenträgheitsmoment

Flächenträgheitsmoment: Berechnung beliebig geformter Flächen durch Integration

Aufgabe F-6.1.1

Viertelkreisfläche, für die das Flächenträgheitsmoment (axial, biaxial) berechnet werden soll. Radius: R, Zentrum des Vollkreises: y,z, y nach links positiv, z nach unten positiv.

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Für den abgebildeten Viertelkreis sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $y$ , $z$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{y}$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{z}$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{y z}$

Aufgabe F-6.1.2

Rechteckfläche, für die das Flächenträgheitsmoment (axial, biaxial) berechnet werden soll. Breite: b, Höhe h, Koordinatensystem y,z mit Zentrum im Schwerpunkt (b/2;h/2), y nach links positiv, z nach unten positiv.

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Für das abgebildete Rechteck sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $y$ , $z$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{y}$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{z}$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{y z}$

Aufgabe F-6.1.3

Dreieckfläche, für die das Flächenträgheitsmoment (axial, biaxial) berechnet werden soll. Rechtwinkliges Dreieck, Rechter Winkel oben rechts. Breite: b, Höhe h, Koordinatensystem y,z mit Zentrum im Schwerpunkt (b/3 von rechter Seite;h/3 von oben), y nach links positiv, z nach unten positiv.

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Für das abgebildete Dreieck sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $y$ , $z$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{y}$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{z}$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{y z}$

Aufgabe F-6.1.4

Kreisfläche, für die das Flächenträgheitsmoment (axial, biaxial) berechnet werden soll. Radius: R, Zentrum: y,z, y nach links positiv, z nach unten positiv.

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Für die abgebildete Kreisfläche sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $y$ , $z$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{y}$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{z}$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{y z}$

Flächenträgheitsmoment: Parallelverschiebung der Koordinatenachsen - Der Satz von Steiner

Übungsaufgabe F-6.2.1

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Querschnittsfläche der Breite b und Höhe h. Ein gelbes y,z-Koordinatensystem liegt mit seinem Ursprung im Schwerpunkt des Rechtecks. Ein grünes y mit Überstrich,z mit Überstrich-Koordinatensystem liegt mit seinem Ursprung in der linken oberen Ecke des Rechtecks. Die y-Achsen sind nach links postiv, die z-Achsen nach unten positiv.

Bestimme Flächenträgheitsmomente für ein Koordinatensystem parallel zum Schwerachsensystem

Für das abgebildete Rechteck sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $\overset{―}{y}$ , $\overset{―}{z}$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{y}$
Axiales Flächenträgheitsmoment $I_{z}$
Biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{y z}$

Gegeben sind die Flächenträgheitsmomente bezüglich der Schwerachsen:

\begin{aligned} I_{y} & = \frac{b \cdot h^{3}}{12} \\ I_{z} & = \frac{b^{3} \cdot h}{12} \\ I_{y z} & = 0 \end{aligned}

Übungsaufgabe F-6.2.2

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Querchnittsfläche mit der Breite b und der Höhe h. Ein gelbes y,z-Koordinatensystem hat seinen Ursprung im Schwerpunkt der Fläche. Eine grüne y mit Überstrich Index 1-Achse befindet sich im Abstand a Index 1 parallel über der gelben y-Achse. Eine rote y mit Überstrich Index 2-Achse befindet sich im Abstand a Index 2 parallel unter der gelben y-Achse. Die y-Achsen sind nach links positiv, die z-Achse nach unten positiv.

Bestimme Flächenträgheitsmomente für ein Koordinatensystem parallel zum Schwerachsensystem

Der dargestellte Rechteckquerschnitt hat eine Fläche von $A = 72 {cm}^{2}$ .

Das axiale Flächenträgheitsmoment bezogen auf die ${\overset{―}{y}}_{1}$ -Achse ( $a_{1} = 5 cm$ ) ist bekannt und beträgt $I_{{\overset{―}{y}}_{1}} = 2664 {cm}^{4}$ .

Berechne das axiale Flächenträgheitsmoment $I_{{\overset{―}{y}}_{2}}$ bezogen auf die ${\overset{―}{y}}_{2}$ -Achse ( $a_{2} = 2 cm$ ).