Potenzgesetze, Potenzregeln

Grundlagen

$$ \begin{aligned} a^n &= a \cdot a \cdot a \dots a\\[7pt] \text{Für } a \neq 0 \text{ gilt:}\quad a^0 &= 1,\quad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\[7pt] \text{Für } a > 0 \text{ gilt:}\quad a^b &= e^{b \cdot \ln(a)} \end{aligned} $$

Potenzen mit gleicher Basis

$$ \begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{(m+n)}\\[7pt] \dfrac{a^m}{a^n} &= a^{(m-n)} \end{aligned} $$

Beispiele:

$$ \begin{alignat}{7} 3^2 \cdot 3^4 &= a^{(2+4)} = 3^6 = 729\\[7pt] \dfrac{5^4}{5^2} &= 5^{(4-2)} = 5^2 = 25 \end{alignat} $$

Potenzen mit gleichen Exponenten

$$ \begin{aligned} a^n \cdot b^n &= (a \cdot b)^n\\[7pt] \dfrac{a^n}{b^n} &= \Bigl(\dfrac{a}{b}\Bigr)^n \end{aligned} $$

Beispiele:

$$ \begin{aligned} 2^3 \cdot 4^3 &= (2 \cdot 4)^3 = 8^3 = 512\\[7pt] \dfrac{8^5}{4^5} &= \Bigl(\dfrac{8}{4}\Bigr)^5=2^5=32 \end{aligned} $$

Potenzen potenzieren

$$ \begin{aligned} \Bigl(a^m\Bigr)^n &= \Bigl(a^n\Bigr)^m =a^{(m \cdot n)} \end{aligned} $$

Beispiel:

$$ \begin{aligned} \Bigl(2^4\Bigr)^3 &= 2^{(4 \cdot 3)} = 2^{12} = 4096 \end{aligned} $$