Übungsaufgabe F-6.2.1 TechMech 2 Festigkeitslehre

Aufgabe F-6.2.1

Flächenträgheitsmoment: Bestimme Flächenträgheitsmomente für ein Koordinatensystem parallel zum Schwerachsensystem

Aufgabenstellung

Für das abgebildete Rechteck sind folgende Flächenträgheitsmomente bezüglich des dargestellten $\overset{―}{y}$ , $\overset{―}{z}$ -Koordinatensystems zu bestimmen:

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Querschnittsfläche der Breite b und Höhe h. Ein gelbes y,z-Koordinatensystem liegt mit seinem Ursprung im Schwerpunkt des Rechtecks. Ein grünes y mit Überstrich,z mit Überstrich-Koordinatensystem liegt mit seinem Ursprung in der linken oberen Ecke des Rechtecks. Die y-Achsen sind nach links postiv, die z-Achsen nach unten positiv. — Abb. 1: Rechteckfläche

axiales Flächenträgheitsmoment $I_{\overset{―}{y}}$
axiales Flächenträgheitsmoment $I_{\overset{―}{z}}$
biaxiales Flächenträgheitsmoment $I_{\overset{―}{y z}}$

Gegeben sind die Flächenträgheitsmomente bezüglich der Schwerachsen:

\begin{aligned} I_{y} & = \frac{b \cdot h^{3}}{12} \\ I_{z} & = \frac{b^{3} \cdot h}{12} \\ I_{y z} & = 0 \end{aligned}

Kurzlösung

a) Bestimme das axiale Flächenträgheitsmoment

I_{\overset{―}{y}}

\begin{aligned} I_{\overset{―}{y}} & = \frac{b \cdot h^{3}}{3} \end{aligned}

b) Bestimme das axiale Flächenträgheitsmoment

I_{\overset{―}{z}}

\begin{aligned} I_{\overset{―}{z}} & = \frac{b^{3} \cdot h}{3} \end{aligned}

c) Bestimme das biaxiale Flächenträgheitsmoment

I_{\overset{―}{y z}}

\begin{aligned} I_{\overset{―}{y z}} & = \frac{b^{2} h^{2}}{4} \end{aligned}

Ausführlicher Lösungsweg

Die Bezugachsen der gesuchten Flächenträgheitsmomente, $\overset{―}{y}$ und $\overset{―}{z}$ , liegen parallel zu den Schwerachsen $y$ und $z$ , für die die Flächenmomente 2. Ordnung bekannt sind. Wir müssen also die Formel (6.10) anwenden, um diese Aufgabe mit möglichst geringem Aufwand zu lösen:

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